许多问题本就无解，但数学家们仍在苦苦钻研。
与其将这些经典问(wen)题当成引人坠入深渊的妖魔，
不如将其看作激发创造(zao)思维的缪斯女神。
不(bu)可能的问题
我(wo)们总说：“世上无难(nan)事”。在诺顿·贾斯特的小(xiao)说《神奇的收费亭》中，国王因为(wei)“许多事情，只要你相(xiang)信，它就能实现”而拒绝告诉米(mi)洛他的探索是不可能的事情。然而，现实中有(you)100些事确实(shi)办不到，这一点是可以用数学证(zheng)明的。
“不可能”的含(han)义有很多：它可以描述“几乎不可能发(fa)生的事情”，比如两幅扑克被洗过(guo)牌后，顺序仍完全一致；也可以描述“由于时间、空间或资源不足而几乎(hu)不可能实现的任务”，比如把国家图书(shu)馆中的藏书全部誊写一遍；还可以(yi)指“自然法则不允许存在的东西(xi)”，比如永动机，它的存在违(wei)背了物理原理。
但数学上的“不可能”与这(zhe)些都不同。我们用明确的假设、数学的推理和严密的逻辑证明(ming)某些结果是不可能的。再多的运气、毅力、时(shi)间或技能都无法改变(bian)这一事实。数学史(shi)中，关于不可能的证明数不胜数，许多还是最负盛名的数学成果。然而(er)，情况并非总是如(ru)此。
不“万能(neng)”的尺规作图
毕达哥拉斯的追随(sui)者希帕索斯可能(neng)是第一个证明“不(bu)可能”的人，他因此遭受了严(yan)厉的惩罚。历史学家认为，公元(yuan)前五世纪时希帕索斯发现，要想(xiang)用同一条线段首尾相接地测量正(zheng)五边形边长和对角线长度是办不到(dao)的。边长为1的正五边(bian)形，对角线长度是φ=(1+√5)/2，今天我们将这种数称(cheng)之为“无理数”。希帕索斯的发现违背了毕达哥(ge)拉斯学派“一切都是数字”的信仰，因此，传(chuan)说他要么在海上淹死了(le)，要么被驱逐出了毕(bi)达哥拉斯学派。
一个多世纪后，欧几里得赋予了直线和(he)圆“几何学基本曲线”的地位。于(yu)是，一代又一代的几何(he)学家在解决诸如平分角、画(hua)垂直平分线等等(deng)问题时，开始只使用圆规和直尺(chi)。某些看似简单的问题，令希腊(la)几何学家一筹莫展，诸如将任意角三等分、将(jiang)正方体体积变为原来的两倍(bei)、构造任意正多边形、构造一个与圆相同面积的正方形。这些(xie)问题最终到达了神话般的高度，困扰了(le)数学家两千多年。
图1 古老的问题仅用尺规作图(tu)，能够画出下列结构吗(ma)？
左(zuo)上：将任意大小的(de)角三等分；右上：构造(zao)正方体的一条边，使(shi)新正方体的体积等于给定正方体(ti)的两倍；左下：构造正(zheng)n边形，n是大于2的(de)任意整数；右下：画出一个与给定圆面(mian)积相同的正方形(xing)
虽然这些本质上是几何问题，但证明(ming)它们不可解却需要新的数学(xue)理论。
17世纪，笛卡尔有(you)了一个根本性的发现：给定一条长(chang)度为1的线段后，尺规作(zuo)图只能构造出能用整数和加、减、乘、除、平方根表示(shi)出来的长度，比如黄金分割数(1+√5)/2。
因此，只要证明某一长度写不成上面的(de)形式，也就证明了它没com法用尺规作图画(hua)出来。这要用到彼时方兴未艾的领域——代数。
两个(ge)世纪后的1837年，笛卡尔的(de)同胞皮埃尔·万策尔运用“多项式和(he)多项式的根”的思路攻(gong)克了这一经典问题。万策尔(er)证明了能用尺规画出(chu)的长度，必须是2n阶多项(xiang)式的根，也就是说，多项式中最(zui)高次项的次数必须是2的幂(mi)。例如，黄金比例是多项式x2?x?1的根，所以可以(yi)通过尺规作图画出；在立方倍增问题(ti)里，将棱长为1的正方体体积增加一倍(bei)后得到的立方体棱长是(shi)3√2，它是多项式X3-2的根，仅仅利用尺规作(zuo)图是画不出的。
利用类似的(de)方法，他还证明了(le)无法通过尺规作图将任意角三(san)等分，或者构造出(chu)任意正多边形（比如正七边(bian)形）。值得注意的是(shi)，这三个关于不可能的证明都(dou)出现在同一页上。就(jiu)像艾萨克·牛顿和阿尔(er)伯特·爱因斯坦的“奇迹年”一样，我们也可以将其称之为“奇迹一页”。
现在还剩一个“将圆变(bian)方”的问题没有解决。这还需要一点新(xin)东西。1882年，林德曼得到了关键(jian)的结果。通过证明π是超越(yue)数——因而π不是任何多项式(shi)的根——林德曼证明了π是无法利用(yong)尺规作图构造出来的。所以“将圆(yuan)变方”的尺规作图(tu)也是不可能实现(xian)的。
七(qi)桥问题
让我们看看(kan)一个稍晚一些的“不可能”问(wen)题，它来自于简(jian)单的过桥问题。在(zai)匹茨堡就有很多桥梁，这(zhe)时有一个爱冒险的自行车手想出一个点(dian)子，他想知道自己能不能从(cong)家里出发，然后在横(heng)跨匹茨堡主要河流的22座桥梁上各自(zi)只通过一次，最后重新回到家(jia)呢？
时间来到(dao)1735年，普鲁(lu)士的一位市长就向欧(ou)拉提出过同样的问题：哥尼斯堡(bao)有七座桥，连接三个河岸和一个(ge)岛屿，能不能不重复地走(zou)完全部的桥？起初，欧拉回绝道：“这问题跟数学无甚联系(xi)，你为什么指望数学家能给你解(jie)答呢？”
然而，欧拉很快就证明了这是(shi)不可能的，同时开辟了一个领(ling)域，称之为“位(wei)置的几何学”。现在我们叫它拓扑学(xue)。他认识到，确切(qie)的细节（比如桥的精确位置、陆(lu)地的形状等等）并不重要，重要(yao)的是它们如何连接。后来的数学家用图(tu)论精简了欧拉的论证。这种“连通(tong)性”的概念是研究社交网络、互(hu)联网、流行病学、语(yu)言学、路线规划等问题的核心(xin)。
图2 哥尼斯堡七桥(qiao)问题欧拉摈除了不(bu)重要的细节，只留(liu)下最基本的元素(su)，证明了无法不重复也不遗漏地走(zou)完这座城市的七座桥。后来这种方法表示成了(le)更抽象的“图”。
欧拉的证(zheng)明出人意料的简单。他推理说(shuo)，每次我们进入和离开一片陆地(di)都必须经过两座桥，因此每块陆地上桥(qiao)的个数必须是偶数。哥尼斯堡的每(mei)块大陆都有奇数座桥，所以(yi)这种路线是不存在的。类(lei)似的，我们的自行(xing)车手如果想在匹茨堡的阿勒(le)格尼河上的3座桥上完成自行(xing)车环行，这在数学上(shang)也是不可能的。
不仅(jin)仅是数学
关于“不可能(neng)”的证明不但影响了抽象数学，也影响(xiang)了现实生活，甚至政治领域。
最近，数学家们把注意力转向了“格里(li)蝾螈”（gerrymandering）。“格里蝾螈”指的是美(mei)国的一种政治现象：每次人口普查(cha)后，各州必须重新划定自(zi)己的国会选区，执政党(dang)为了最大限度地扩大自己的席位，实现(xian)政治权力最大化，有时会将(jiang)一个州的领土划分成十分(fen)怪异的形状，比如像一只张牙舞(wu)爪的火蜥蜴。
（图源网(wang)络）1812年(nian)，马萨诸塞州议员为了政党利益，在(zai)埃塞克斯县边缘，划出了一个形状奇怪(guai)的区域，格里蝾螈一词由(you)此而来。
许多(duo)州要求选区必须是“紧凑的”，这(zhe)个术语起初并没有(you)固定的数学定义。1991年，丹(dan)尼尔·波尔斯比和罗伯特·波普(pu)尔提出，可以用4πA/P2将“紧凑”的程度量化，其中A是面积，P为周长(chang)。圆形的区域得分为1，扭(niu)曲畸形的区域得分为0。
2014年，尼古拉斯·斯(si)特凡诺普洛斯和埃里克·麦基提(ti)出了另一个衡量重新划分选区的(de)政治公平性的指标：“效(xiao)率缺口”。一个政党(dang)为了让对手党浪费的选(xuan)票最大化，会有两个划(hua)分选区的策略：要么让对手党的选票刚好低于50%，要么使之尽量接近100%。任何一(yi)种策略都会迫使(shi)其他党派把选票浪(lang)费在失去候选人或赢得不需要选票的候(hou)选人身上。。效率(lu)缺口描述了浪费选票的相对值。
以上两种都是检测格(ge)里蝾螈的有效手段。但在2018年，鲍里斯·阿列克谢耶夫和达(da)斯汀·密克逊证明一个结论：“有时，只有形状怪异的地(di)区才有可能出现小的效(xiao)率缺口。”也就是说(shuo)，从数学上讲，选区的(de)形状并不总是能同时满足以(yi)上两种检测公平性的条件。
然而，格里蝾螈问题已经成为了一(yi)个活跃的学术领域，吸引着许多有才(cai)华的研究人员。就像尺规作(zuo)图和七桥问题一样，这一(yi)问题一定也会激发创造力(li)，推动数学的发展。
作者：David S.Richeson
翻译：xux
审校：Dannis
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