在我国，对空(kong)间图形的研究起(qi)源很早。由于建筑城墙(qiang)，开掘沟渠等工程需要计算体积，所以在《九章算术(shu)》中的“商功章”以及魏晋时(shi)期著名数学家刘徽所著的(de)《九章算术注》中介(jie)绍了当时的算法。今天，就让我们(men)走进历史的长河，来(lai)看看中国古代数学史中的体积计(ji)算。
刘徽曾在《九章算术注(zhu)》中多次运用堑（qiàn）堵、阳马、鳖臑（nào）等几何体来验证(zheng)并推导立体体积的算法。那么(me)什么是堑堵、阳马和鳖臑(er)呢？实际上，这些几何(he)体我们并不陌生。
刘徽首先从几何形状的角度解释(shi)“堑堵”（底为直角三(san)角形的直三棱柱）：
邪解立方(fang)得两堑堵；虽复随方(fang)，亦为堑堵，故二而一。
这句话说明把(ba)正方体或长方体过一组相对面的对角线(xian)平分得到两个（体积(ji)）一样的堑堵。
刘徽又提到：
推(tui)其物体，盖为堑上叠也。
这说明作为实物的堑堵可能是叠在沟(gou)堑上面的一种设施(shi)，也许这就是“堑堵”之名的由来(lai)。
阳马为(wei)何物？刘徽在术文(wen)下注云：
阳马之形，方锥一隅也。
意思(si)是阳马的形状，就是方锥（正四(si)棱锥）的一个角，并且他又(you)补充说：
今谓四柱屋(wu)隅为阳马。
这便是从实际生活(huo)中的情况来说明阳马作为实物指的(de)是什么。
鳖臑则指的是各个面都(dou)为直角三角形的(de)四面体。刘徽在做注时，侧重于解(jie)释鳖臑的字面含义：
“
臑(er)者，臂骨也。或曰半阳(yang)马，其形有似鳖肘，故以名云(yun)。
刘徽还通过立体的分解和组合(he)来阐述堑堵、阳马、鳖臑这三者的关系：
“
邪解立方(fang)得两堑堵，邪解堑堵(du)，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不(bu)易之率也。
这指的是把一个立方(fang)（正方体或是长方体）斜向(xiang)分解成两个堑堵，再把(ba)堑堵斜向分解得到一个阳马和(he)一个鳖臑，两者(zhe)的体积比总是2：1（不易之率）。
实际上，在《九(jiu)章算术》原著中“商功(gong)章”给出了“阳马”的体积公式(shi)：三条直角边乘积的三分(fen)之一。这与刘徽(hui)后来提出的“不易(yi)之率”（阳马与鳖臑的体积比(bi)为）的说法是等价的。但是(shi)《九章算术》原著中并没有给出证(zheng)明。刘徽则尝试运用极限的方法对(dui)其进行解释，并(bing)将其记录在了《九章算(suan)术注》中。
2 不易之率刘徽欲证明阳马体积Y和鳖臑体积B之比为2:1，又由于堑堵的(de)体积是长方体的一半，由(you)此即可推出阳马体积公(gong)式为
其中a,b,c分别(bie)为长方体的三边之长。
刘徽认为，命题Y:B=2:1应对任意长方体都成立，这个比率称为“不易之率”，意即对所有长方体都(dou)保持不变的比率.刘徽用(yong)一种极限的过程对他的命题给出了(le)一般的证明。
如图，取阳马各棱的(de)中点并联结，可将阳马分割(ge)为1个小长方体、2个（一样的）小堑堵、2个（一样的(de)）小阳马。
同样地，可将鳖(bie)臑分割为2个（一(yi)样的）小鳖臑和2个（一样的）小堑堵。
容易得到，阳马中除去2个小阳(yang)马的部分的体积（记为100）为鳖臑中除去2个小鳖臑(er)的部分的体积（记为）的2倍，即
com
而(er)它们合在一起（刘徽(hui)称其为“已知”部分）的体(ti)积应占原堑堵体积的。
因此，剩余部分（即2个小阳马加2个(ge)小鳖臑，刘徽称其为“未(wei)知”部分）的体积应占原堑堵的体(ti)积的。
若分别用记每个小阳马和小(xiao)鳖臑的体积，则有
其(qi)中，与的比是未知的。但实际上，我(wo)们可以如法炮制，继续对每个小阳马和小鳖臑进行同样(yang)的分割，就有
由此，对第次(ci)分割，其中在“已知”部分(fen)中总有，至于“未知”部分的体积，刘徽指出，随着分(fen)割得越来越细，它将无限(xian)趋近于0。刘徽对这一过程的描述(shu)是：
半之弥少，其余弥细，至(zhi)细曰微，微则无形，由是言之，安取(qu)余哉？
将这一过程无限进行下去，在极(ji)限的情况下就得到了“不易之率”：Y:B=2:1。
3 刘徽的无限(xian)思想刘徽的极限方法在今天看来也十分精(jing)彩，在刘徽的观念中，分割(ge)到最后的结果得到一(yi)个“至细”，“无形”的东西(xi)，这一点可以从他的思想渊源上得到解(jie)释。
实际上，刘徽受墨家(jia)的思想影响很深。墨家曾提出(chu)“非半弗斫”命题：
非半弗斫，则(ze)不动，说在端。
这是认(ren)为对于给定长度的木棍，做连(lian)续取半的分割操作，到了不能再取半时(shi)，就不能用刀砍(kan)了，这时就会出现不动的“端”，这里(li)的“端”指的就是没有大小，量度为(wei)零的东西。
其次，从道家思想看，刘(liu)徽这里用的“微”和“无形”两个概(gai)念，在刘徽所处的时代之前就已(yi)有密切的联系。《庄子(zi)·秋水》中云：
河伯曰(yue):世之议者皆曰:“至精无形(xing)……” 北海若曰：“……夫精，小(xiao)之微也；夫精粗者(zhe)，期于有形者也；无形者，数之所不(bu)能分也；不可围者，数所不(bu)能穷也”。
这里，“微”和“无形(xing)”通过概念“精”联系起(qi)来，体现了道家强调精(jing)微细小到极点就“无形”的极限思想(xiang)。
刘徽运用(yong)同样的思想方法提出了著名的(de)“割圆术”，通过不断(duan)倍增圆内接正多边形的(de)边数来接近圆，从而计算(suan)圆周率:
割之弥细，所失(shi)弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周(zhou)合体而无所失矣.
刘徽大胆地直接用无限过程(cheng)来处理数学问题，这与中(zhong)国古代数学注重实际讲求直观的传统(tong)相一致。从中国古代哲学思想的(de)渊源来看，刘徽在无限过程(cheng)的运用上和墨、道两家也是一(yi)脉相承的。
参考(kao)文献
[1]邹大海,夏庆卓.刘徽对《九章算术》中立体的(de)辨名[J].自然(ran)辩证法通讯,2021,43(04):47-54.
[2]李文林.学(xue)一点数学史——谈谈中学数学教师(shi)的数学史素养[J].数学通报,2011,50(04):1-5.
[3]邹大海.刘徽的无限(xian)思想及其解释[J].自然科学史研究,1995(01):12-21.
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来源：大小吴的数学课堂
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