奇函数和(he)偶数进行四则运算还是不是(shi)奇偶函数了？该如何证明？
hello，大家好这里是摆(bai)渡学涯，这次课程(cheng)咱们来为大家讲一下奇函数与偶函(han)数进行四则运算该如何进行相关的(de)奇偶性的判断以(yi)及如何进行相关的证明。帮助高(gao)一的学生们在这次期中考试中取得(de)理想的成绩哦。
1 奇函数加偶函(han)数的奇偶性
例(li)题1：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且(qie)两者的定义域相同(tong)，判断f(x)+g(x)的奇偶性。
解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)+g(x)，则h(x)的定(ding)义域关于原点对称(cheng)。
h(–x)=f(–x)+g(–x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(–x)–g(–x)，即h(x)不等(deng)于–h(–x)，因此h(x)为非奇非偶函数。
举例说明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x+x的平方，h(–x)=–x+x的平方，可以(yi)看出h(x)为非(fei)奇非偶函数。
2 奇函数减偶函数的奇偶性
例题2：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且两者的定义域相同(tong)，判断f(x)-g(x)的奇偶(ou)性。
解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)的定义域关于原点对称。
h(–x)=f(–x)-g(–x)，而h(x)不com等于h(–x)，–h(–x)=–f(–x)+g(–x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)为非奇非偶函数。
举例说明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x-x的平方，h(–x)=–x-x的平方，可以(yi)看出h(x)为非(fei)奇非偶函数。
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3 偶函数减奇函数的奇偶性
例题3：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函(han)数，且两者的定义域相同(tong)，判断g(x)-f(x)的奇偶(ou)性。
解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=g(x)-f(x)，则h(x)的(de)定义域关于原点对称。
h(–x)=g(–x)-f(–x)=g(x)+f(x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(x)–g(x)，即(ji)h(x)不等于–h(–x)，因此(ci)h(x)为非奇非偶函数。
举例说明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x的平方-x，h(–x)=x+x的平方，可以看出h(x)为非(fei)奇非偶函数。
从例题3和例题(ti)2中的说明，我们可(ke)以发现，只要按照定义进(jin)行相关的验证就能(neng)证明出来，希望大(da)家下去能够自己给以相关的证明哦。自己多找几道练习题进行相关的验证。偶函数减去奇函数的奇偶性和奇(qi)函数减去偶函数的奇偶(ou)性是不同的概念哦，一定(ding)要进行细分。
4 偶函数乘以奇(qi)函数的奇偶性
例题4：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶(ou)函数，且两者的定义域相同(tong)，判断f(x)g(x)的奇偶性。
解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)g(x)，则h(x)的定义域关于原点对称。而(er)h(–x)=f(–x)g(–x)=-f(x)g(x)=-h(x)，因此h(x)为奇函数。
留给大家一个(ge)小作业，自己举例进行验(yan)证一下吧。
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好了本次(ci)课程我们就为大家分享到这里(li)了，咱们下次课再见。如果关(guan)于孩子学习方面发(fa)问题你还有什么疑问(wen)，请在下方为我们留(liu)言吧。咱们将第一时间给以您满(man)意的答复哦。
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