课前慎思
“3的倍数(shu)特征” 是新世纪小学数学(xue)（北师大）五上第三单元中(zhong)的内容，这一课编(bian)排在"2，5的倍数特征(zheng)” 之后。学习 2，5的倍数特征时，学生经(jing)历了观察、猜测、分析、验证等方法(fa)探究特征的过程，具有了一定的认知经(jing)验，教材的编排仍然(ran)借助百数表让学生(sheng)探究3的倍数特征(zheng)，希望继续发展分析(xi)、比较、猜测、验(yan)证的能力。
那么，对于"3的倍数特征＂，学(xue)生又会如何的思考呢？我们采用纸笔测(ce)试和询问的方式对40名学生进行(xing)了前测。
题目1：我们已经(jing)学了 2，5的倍数特征(zheng)，3的倍数特征是怎样的呢(ne)？学生的回答如下：
再询问出现(xian)答案四的孩子：“你怎么就想到可以(yi)用数字之和来判(pan)断？＂ 孩子回答：“家长告诉我的(de)。” “我从课外书(shu)了解到的。” “预(yu)习了数学书。” ……
题目2：4512是3的倍数吗？
小明说：可以用4512÷3，看4512能否(fou)被3整除进行判断。
小刚(gang)说：还可以用（4 +5+ 1+2= 12, 12÷3=4）来判断。
对他(ta)们俩的说法，你有什么看法？
100%的孩子都肯定了小明的(de)方法。90%的(de)孩子否定了小刚的(de)方法，原因是千位、百位(wei)、十位、个位上(shang)的数字不能加在一起，它们(men)的计数单位不同。
由此可知，孩子们具有直接根据个位或者十位(wei)上的数字特点寻(xun)找倍数特征的经验，但是(shi)这些经验不足以支撑很快(kuai)找出3的倍数特征(zheng)。如何让学生突破已有经(jing)验的局限性，真正理解为什(shi)么各个数位上的(de)数字之和是3的倍数，这(zhe)个数就是3的倍数？以怎样(yang)的过程引导学生来深(shen)刻地经历和体验？我们尝试用(yong)几何直观百格图来(lai)突破。
课堂实录
Part 1：沿循“旧”路，改(gai)造经验
杜威曾说，教育即经验的(de)连续不断地改造。3的倍数特征利用(yong)找寻2，5的倍数特征(zheng)经验去进行，显然(ran)行不通，如何让学生从经验中(zhong)产生新问题，而问题又激发他们(men)探索，从而产生新的经验呢(ne)？大胆放手，留足(zu)探究的时空，让学生由此(ci)及彼、由浅入深，在思维(wei)的碰撞，相互的辨析、质疑的过程(cheng)中完善认知，生成新的经验。
师：同学们，我们(men)今天研究3的倍数特征，你们(men)先不妨猜想一下(xia)，3的倍数可能有怎样的特征？
生1：我认为3的倍数个位都是3，6，9。
生2：不对，像(xiang)13，16，19，…这些数就不是3的倍数。
生3：我在(zai)百数表里找出了3的倍数，发现个位上0～9这(zhe)些数字都出现过。
师：是呀，个(ge)位上的数字没有规(gui)律，怎么办呢？
有学生小声(sheng)嘀咕：“十位上的数字也没有规(gui)律哦。”课堂沉默了一段时间(jian)。
生4：我认(ren)为十位上的数字和个位上的数字加起(qi)来如果是3，6，9的话，就是3的倍数。大家请看：在(zai)10～20以内，12，15，18的十位上和个位(wei)上的数字和是3，6，9；继续看20～30以内，21，24，27这些(xie)数的数字和也是3，6，9；再看30，33，36，…
全班响起了热烈的掌声，大家肯定了生4的观(guan)点。
生5：我有(you)一个问题，如果这个数不是两(liang)位数，而是一个更大(da)的数，比如1278，34656，…用这个(ge)规律怎样判断？
师：生5特(te)别爱动脑筋 ，敢于质疑，其他同学还(hai)有什么想法呢？
生6：我认为所有数(shu)位上的数字相加的和(he)是3的倍数，这个数就(jiu)是3的倍数。比如345，3+4+5=12，12是(shi)3的倍数，所以(yi)345也是3的倍数；再如1278,用 1+2+7+8=18，18 是3的倍数，所(suo)以1278也是3的倍数。
师：这个规律可行吗(ma)？请大家举一些例子再证(zheng)明一 下。
大家(jia)忙着再用正例和反例(li)验证，最终发现(xian)：各个数位上的数字和是3的倍(bei)数，这个数就是3的(de)倍数。
生7：我有疑(yi)问，每个数位上的数字表示的(de)意义不一样，怎么能够(gou)加在一起呢？比如，1278代表的是1个千、2个百、3个十、8个一，计数单位不(bu)一样，怎么能把这些数字相加呢？
师：真是爱(ai)动脑筋的孩子，不仅(jin)要知其然，而且要知其所以然。
Part 2：探寻(xun)真相，以 “形”解数(shu)
著名的数学家华罗庚说，数(shu)缺形时少直观，形缺数时(shi)难入微。在孩子们的认知结构中，不同(tong)计数单位的数表示(shi)的意义不一样，是不能直接相加的(de)，为什么在3的特征概述中可以把各(ge)个数位上的数字相加求和，原理(li)何在？教师借助百(bai)格图，让学生在(zai)操作中体验，在对比、观察、类推中明理，弄清问题的实质。
师：生4和生6的发(fa)现到底有没有价值？咱们借助百(bai)格图来看看吧。（出示图(tu)1）谁来对照图说一 说，10为什么不是3的倍数？
生1：3个一组，分完3组还余 1个，所以(yi)10并不是3的倍数。
师：同(tong)学们的意思是分(fen)完9个，余1个，用算(suan)式表达10=1×9+1，可以吗(ma)？
生1：当然(ran)可以呀。
师：如果是20呢(ne)（如图2）？分完后用算式怎样表达？
生2：20=2×9+2。
师：如果是30呢(ne)（如图3)? 像这样分下去，用算式(shi)怎样表达？
生3：30=3×10。
生(sheng)4：还可以30=3×9+3。
师：同学们(men)利用百格图，像这样边分边(bian)写出算式，自己试(shi)一试。
学生写(xie)下如下算式：
40=4×9+4
50=5×9+5
60=6×9+6
......
师：同学们(men)，根据你分的过程和写出的算式进(jin)行观察，你们发现了什么？
生(sheng)1： 用几个十来分就会(hui)余几个一。
师：还有什(shi)么发现？（有意识地将余(yu)数与十位上的数字指点一下，引导学生(sheng)观察 ）
生2：十位(wei)上的数字是几 ，余数就是几 。
生3：当余数是3的倍数，这个数(shu)就是3的倍数。
师：厉害，同(tong)学们都有一双发现的眼(yan)睛。如果100，像这样每3个一(yi)组来分，余数是几呢? 200，300呢？
学生写下如下算式：
100=11×9+1
200=22×9+2
300=33×9+3
......
生：如果是整百数，百位上有几个(ge)百，余数就会余几个一。
师：通(tong)过刚才的圈一圈、写一(yi)写、看一看的活动，同学们体验到了整十、整百(bai)数除以3的余数特点。那(na)如果这个数是整千、整(zheng)万的数呢？
板书：
1000=111×9+1
2000=222×9+2
......
生(sheng)：依此类推，哪(na)个数位上是几 ，分了之后(hou)就会余下几个一。
Part 3：深入探究，明晰本质
借助(zhu)几何直观让学生意识到(dao)3的倍数特征背后隐含的道理，不同数位上的数字之和实际(ji)上转化成每个数位(wei)上余下来的几个一(yi)的和，每个数位上余下来的(de)几个一的和正好对应着各个(ge)数位上的数字和，这样的转化过程(cheng)看起来很复杂，但(dan)数学的简洁和抽象恰(qia)好掩盖了最本质的原理，直(zhi)面学情，化解疑惑，只有回到(dao)认识的起点，层层剥(bao)笋，还原概念的真相，才能促(cu)进学生真正理解。
师：如果这个数不是(shi)整十、整百、整千……的数，又是什么样的情况呢？
出示下图(tu)：
师：借助（图4）分析(xi)一下22为什么不是(shi)3的倍数。
生1：22里面有2个(ge)十、2个一。2个十分完后余(yu)下2个一，余下的2和个位上(shang)的2合在一起是4个一，4个(ge)一分了之后，还余1个，所以22不是3的倍数。
师：借助图（5）说一说54 是3的倍(bei)数吗？为什么？
生(sheng)2：54里面包含5个十和4个一。5个十分(fen)完后还余下5个(ge)一，余下的5个一和4个一合(he)在一起是9个一，9个一正(zheng)好分完没有余数，所以(yi)54是3的倍数。
师：同学们再看（图6）135，是3的(de)倍数吗？为什么？
师：我们(men)把上述分析的过程用表(biao)格的形式简单整理一下（如下）：
师：请你列(lie)举一些其他的数，像刚才那样说一(yi)说是不是3的倍数，为什么。
学生列举(ju)了一些更大的数相互说一说，进(jin)一步完善了表格。
师：同学们，从整理的表(biao)格中大家发现了什么？
生1：哪个数位上(shang)是几就会余下几个一，余下的几个一合(he)在一起，如果和是3的倍数，这个数(shu)就是3倍数，否则就不是3的倍数。
生2：我认(ren)为，余数和是3的倍(bei)数，这个数就是3的倍数。
生3： 我发现余数和就是(shi)各数位上的数字和。
师：同学们有这么多的发(fa)现，真是了不起！通过分一分的活动，我们发现各数位上(shang)的余数和是3的倍数，这个(ge)数就是3的倍数这个道理。大家还把余(yu)数和与这个数各个数位上的数字(zi)和联系起来思考了，进一步说明(ming)3的倍数特征是什么？
生4：每个(ge)数位上的数字之和(he)是3的倍数，这个数就是3的(de)倍数。
师：为了方便快捷，我们判断(duan)3的倍数就不用去寻找余数和，直接(jie)找到各位上的数(shu)字和就可以了。
师：同学们，你现在能解释(shi)“为什么每个数位上的数字表示(shi)的意义不一样，能够加在一起了(le)吗？”
课后反思
《3的倍数特征》这(zhe)节课，很多老师感觉不(bu)好上，究其原因：一是(shi)没有2，5的倍数特征明显，学生的(de)已有经验派不上(shang)用场；二是用数学语言描述特征(zheng)很困难；三是不能理解各个数(shu)位上的数字和相加的原理。针对这样的学习状况，教学中我努力(li)体现以下三点：
1．直面学情
以往教(jiao)学中，当学生无法从个位或十位直(zhi)接观察到规律时，教师往往直接提(ti)示。学生即使能够发现规(gui)律，也不是自己独(du)立探究的结果，更可能似懂非(fei)懂。通过前测，发(fa)现大家都存在“不同数位上的数(shu)字不能直接相加”的疑惑，教师(shi)就要思考：3的倍数特征存在的合理(li)性在哪里？这就是本节课要突破的(de)重点和难点。
2．挖掘本质
借助百格图这种直观模型来探(tan)究，的确是一个很好的办法。但重要的是怎样让学生体验到余数之(zhi)和与每一位上的数字之和的联(lian)系。先让学生利(li)用数形结合讲一(yi)讲10，20为什么(me)不是3的倍数，然后让学生自己分(fen)一分、写一写，说一说，直观感受和(he)体验哪个数位上数字是几，最后(hou)就会余下几个一，这样看似不同计数单(dan)位的数字相加，其实是相(xiang)同计数单位的几个一相加，所以只(zhi)需要看数字和就可以判断是否(fou)为3的倍数了。
3．促进理解
数学是一门高度(du)抽象的学科。如果本(ben)节课仅仅停留在知识(shi)层面知道3的倍数特征并学会判断某(mou)个数是否为3的倍数，学生的分析、判断、推理等能力(li)就得不到有效提升。如果(guo)忽视学生的认知障碍，学生心中的疑(yi)惑就得不到有效的解(jie)答，久而久之学生就会失去思考(kao)的动力，变得懒得思考，不爱思(si)考。探寻3的倍(bei)数特征背后的奥秘，弄清(qing)为什么不同数位上的数字可以(yi)相加的道理，追本溯源，解答学生心中的疑(yi)惑，让学生感受到数(shu)学的奇妙，感受到思考带来(lai)的乐趣。
作者：邓永翠（湖北省(sheng)宜都市实验小学）
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